Гл. 6. Естественный глобальный оптимум

6.1. Постановка задачи

Исследованием глобального оптимума мы начали заниматься еще в конце семидесятых годов под руководством доктора физико – математических наук профессора МГУ В.Б. Кудрявцева. Позже нам пришлось сузить область исследования: ограничившись изучением т.н. естественного глобального оптимума.

Понятие «Естественный глобальный оптимум» впервые мы применили в работах [16, 17]. Под этим нами понимается глобальный оптимум, сформированный естественным образом в результате пересечения большого числа случайных и неслучайных процессов, происходящих в природе. Естественным глобальным оптимумом (ЕГО) является, например, индивидуальная норма человека.

Способ определения ЕГО, приведенный в работах [16, 17], предполагает, что являются известными как данные

B_j1(s) = {b_jl ¹(s) ; l = 1..N_j1(s)}; j = 1..n, s = 1..m (6.1)

так и данные

B_j0(s) = {b_jl ⁰; l = 1..N_j0(s)}; j = 1..n, (6.2)

где

B_j1(s) _– выборка результатов обследования показателя y_j Î Y у МР sÎ S Í S;

Y– генеральная совокупность первичных показателей состояния МР S;

n – объем Y: n ≥2 ;

m – количество анатомических элементов МР S: m≥2;

B_{j0 –} выборка результатов обследования показателя y_j Î Y у множества МР S₀ Í S;

S₀ –подмножество анатомических элементов МР S, находящихся в нормальном состоянии.

Здесь под первичными показателями состояния МР S понимаются количественные величины, которые

1) служат общими характеристиками состояния МР S,

2) установлены непосредственно путем измерения с помощью единого способа для всех анатомических элементов МР S.

Предполагается также, что совокупности (6.1) и (6.2) с вероятностью P^* ( 0.95 ≤ P^*< 1) служат репрезентативными выборками из генеральных совокупностей

B_jk(G); j = 1..n (6.3)

и, следовательно, имеют место

N_jk >>1 ; k = 0,1; j = 1..n

К сожалению, часто неизвестными являются не только совокупности (6.3), но даже и совокупности (6.1) и (6.2).

Вообще с самого начала неизвестными являются как совокупности (6.1), так и совокупности (6.2).

Однако, в случаях, когда необходимо судить о состоянии МР S, обойтись без знания этих совокупностей - просто невозможно. Прежде всего, специалисты вынуждены всегда собирать данные (6.1).

Возникает вопрос: зная данные

B_j1(s) = {b_jl ¹(s) ; l = 1..N_j1(s)}; j = 1..n; s = 1..m, (6.4)

нельзя ли установить совокупность величин

M_j0(s), S_j0(s) и N_j0(s); j = 1..n; s = 1..m (6.5)

которые служили бы объективными эталонами нормального состояния – индивидуальными нормами - анатомических элементов МР S ?

Ниже мы увидим, что это вполне возможно.

6.2. Метод измерения с наибольшей точностью

Согласно второму закону гармонии в каждой целостной системе S выполняется условие равно точности измерений. Отсюда смысл требования, которое предъявляется каждой выборке

B_j1 = {B_j1(s); j = 1..n}

Она должна быть составлена результатами равноточных измерений, т.е. должно иметь место [22]:

D _j(s) = D _j(0) для всех j = 1..n и s = 1..M, (6.6)

где

D _j(s) – единица измерения величины y_jÎ Y, фактически используемая в МР s (s = 0.. m) при t = t₀.

Согласно (3.1) и (4.28) имеет место

D _j(s) = (1 – p) M_j0(s); j = 1..n; s = 0..m

При этом, вообще имеет место

D _j(s) ≥ D _j(п,s) ≥ s _j(s); j = 1..n; s = 0..m, (6.7)

где

D _j(п,s) – абсолютная ошибка «измерительного прибора», с помощью которого при t = t₀ величина y_jÎ Y в МР s = 0 фактически измеряется.

s _j(s) – генеральное среднеквадратическое отклонение измерений величины y_jÎ Y в МР s.

Величина s _j(s), как правило, является неизвестной. Поэтому на практике, как было указано в главе 4, всегда оперируют величиной:

D _j(s) = S_j1(s), (6.8)

где

D _j(s) – «исправленное среднеквадратическое отклонение измерений величины y_jÎ Y в МР s при t = t₀:

D _j(s) → s _j(s) при N_j1(s) → ∞

В итоге, условие (6.6) будет выполняться в том и только в том случае, когда

D _j(s) = D _j(0) ≥ D _j(0) = S_j1(0) для всех j = 1..n и s = 1..m, (6.9)

где, согласно (2.11),

S_j1(0) = и N_j1(0) = (6.10)

Согласно третьему закону гармонии для каждой целостной системы S величина P имеет свой, вполне определенный, верхний предел P₀ [3, 4]. Этот предел таков что, равенство

P = P₀ (6 11)

выполняется тогда и только тогда, когда система S находится в нормальном состоянии и, следовательно, имеют место:

P = P₀ Þ M_j0(s) = M_j0(0); S_j0(s) = S_j0(0) и N_j0(s) = N_j0(0)

для всех j = 1..n и s = 0..m

и (6.12)

P = P₀ Þ D _j(s) = D _j0 для всех j = 1..n и s = 1..m,

где

D _j0 – минимально возможное значение величины D _j(s) для системы S при t = t₀:

Согласно (6.9) имеет место

D _j(s) = D _j0 Û D _j(s) = S_j1(0); j = 1..n; s = 1..m,

т.е. вообще

D _j0 = S_j1(0); j = 1..n (6.13)

Отсюда смысл следующего положения.

Определение 6.1.

Пусть, имеет место (6.1) и, следовательно, согласно (6.6), (6.12) и (6.13), выполняется условие

D _j(s) = D _j0 = S_j1(0)

для всех j = 1..n и s = 1..m (6.14)

Тогда и только тогда говорят, что в системе S измерение величины y_j Î Y производится наиболее точно, и пишут:

D _j(s) = D _j0 = S_j0 для всех j = 1..n; s = 1..m (6.15)

Согласно (6.14) и (6.15) имеет место

S_j0 = ; j = 1..n (6.16)

Итак, оперируя данными

S_j1(s) и N_j1(s); j = 1..n; s = 1..m,

с помощью совокупности соотношений (6.10) и (6.16) всегда можно найти величины

S_j0; j = 1..n, (6.17)

служащие характеристиками нормального состояния ТП анатомических элементов ЦС S при t = t₀

6.3.Определение точечных статистических норм

Каждая МР s, согласно первому закону гармонии, является целостной системой с вероятностью p(s) (0.5 ≤ p(s) < 1), а каждая ее j ая функциональная часть, со своей стороны, является целостной системой с вероятностью p_j(s) (0.5 ≤ p(s) < 1).

При этом, согласно следствию второго закона гармонии вероятность целостности МР s равна вероятности ее самого слабого звена, т.е. имеет место

p(s) = p_j; j = j₀; j₀ = 1..n, (6.18)

где

p_j = min(p_j(s); s = 1..m), (6.19)

В итоге

p(s) = P Û p_j = P; j = j₀; j₀ = 1..n (6.20)

где

P – вероятность фактического познания истины в системе S при t = t₀.

Обозначим

h_j = min{h_j(s); s = 1..M], (6.21)

где

h_j(s) = 1 - (6.22)

Согласно (4.48) и (6.22) имеет место

h(s) = h Û p_j = P для всех j = 1..n и s = 1..m (6.23)

Для величин h и P, согласно (4.49), имеет место:

h = 1 - , (6.24)

где

t ( P, 2 round(,0)) (6.25)

– критическое значение критерия Стьюдента при заданной вероятности P и степени свободы 2 round(,0).

Из (6.23) и (6.24) имеем

h_j = h Û p_j = P; j = j₀; j₀ = 1..n (6.26)

Пусть, система S находится в нормальном состоянии и, следовательно, имеет место

p_j = P₀ для всех j = 1..n

Отсюда и из (4.45), (4.49) и (6.26) имеем

h_j = h₀ для всех j = 1..n (6.27)

и, в конечном счете, согласно (4.46),

M_j0 = S_j0; j = 1..n (6.28)

Итак, если известны

S_j0; j = 1..n,

То с помощью совокупности зависимостей (6.22) и (6.28), можно найти и точечные статистические нормы

M_j0; j = 1..n

6.4. Определение вероятности фактического познания истины

Для величины P, как характеристики всей системы S, имеет место

P = max{p(s); s = 1..m} (6.29)

Отсюда и из (6.23) имеем

h = max{h(s); s = 1..m }

С учетом этого для нормального состояния системы S из (6.23) и (6.26) получим

h = max{h_j; j = 1.. n } (6.30)

Оперируя совокупностью зависимостей (6.21), (6.22), (6.26) и (6.30), всегда можно найти P. А зная P, можно найти и величины

N_j0; j = 1..n

Для этих величин, согласно (3.1), (4.5), (4.21) и (4.29), имеет место:

N_j0 = N₀; j = 1..n, (6.31)

где

N₀ = 1 + round(,0) (6,32)

6.5 Алгоритм определения точечных статистических норм

1. По данным (6.4) вычисляют величины:

;

и s = 1..m; j = 1..n (6.33)

2. Последовательно устанавливают величины

S_j0 = ; j = 1..n

h_j(s) =; j = 1..n; s = 1..m

h_j = min{h_j(s); s = 1..m); j = 1..n (6.34)

M_j0 = (1 - ) S_j0 ; j = 1..n;

h = max{h_j; i = 1..n)

3. Составляют функцию

f(x) = + h -1

и находят корень P уравнения

f(x) = 0; 0.5 ≤ x ≤ 0.99999,

где

t (x, ) – критическое значение критерия Стьюдента при заданной доверительной вероятности x и степени свободы m:

m = round(

3. С помощью соотношения

N_j0 = N₀ ; j = 1..n

устанавливают величины

N_j0 ; j = 1..n,

где

N₀ = 1 – round(

Итак, зная совокупность фактических данных (6.1) и оперируя выше приведенным алгоритмом, можно установить величины

M_j0; S_j0 и N_j0; j = 1..n,

служащие статистическими характеристиками нормального состояния ТП элементов системы S.

Настоящий алгоритм впервые был опубликован в [24] и [36].

6.6. Естественный глобальный оптимум и точечные статистические нормы человека

Вообще

S = S(G) Þ P = max{p(s); s = 1..m}= P₀,

где

S(G) – генеральная совокупность объектов, описываемых с помощью совокупности величин Y. А если S Ì S(G), то

P = max{p(s); s = 1..m}≤ P₀

В том случае, когда

P = max{p(s); s = 1..m}= P₀, (6.35)

величины

M_j0; j = 1..n (6.36)

служат в качестве естественных глобальных оптимумов, а вся совокупность величин (6.5)

служит характеристикой нормального состояния в общепринятом смысле.

Условие (6.35) будет выполняться, если среди анатомических элементов системы S можно найти такой s = s_N, для которого будет иметь место

M_j1(s) = M_jN, S_j1(s) = S_jN и N_j1(s) = N_jN при s = s_N для всех j = 1..n

где

M_jN, S_jN и N_jN

- значения величин

M_j1(s), S_j1(s) и N_j1(s)

для нормального состояния объекта s

В медицине совокупность величин

M_jN, S_jN и N_jN; j = 1..n (6.37)

устанавливают по результатам обследования соответствующего контингента здоровых людей.

Итак, для того чтобы убедиться, что величины (6.36) служат в качестве естественных глобальных оптимумов, в первую очередь, нам необходимо проверять выполняется или нет условие (6.35).

При этом полагают, что

P » P₀ при .P ≥ P^* и P₀ ≥ P^*, (6.38)

где

P^* - требуемое принимающим решения значение P.

В настоящее время, как правило, требуют, чтобы

P^* ≥ 0.95 (6.39)

Это запись имеет смысл, если

P₀ ≥ 0.95

А вообще должно иметь место

0.5 £ P^** £ P^* < 1 Û 0.5 £ P^** £ P₀ < 1 (6.40)

Отсюда и из (4.46) имеем

P^* = P^** ≥ 0.95 при 7 £ n < ¥

Таким образом, в случаях, когда n < 7, требовать выполнение условия (6.39) не имеет смысла.